Toen ik dit schreef, in 2002, was het 800 jaar geleden dat Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, een boek publiceerde met daarin o.a. een methode om uit te rekenen hoeveel konijnen je na bijvoorbeeld een jaar hebt, als je met één paartje begint en aanneemt dat de jongen pas als ze één maand oud zijn zelf werpen en dat ze steeds één paartje werpen. Ook in het Italië van 1202 was de vruchtbaarheid van konijnen blijkbaar al spreekwoordelijk.

Fibonacci berekende dat er aan het begin van de eerste maand 1 pasgeboren paartje is, na 1 maand nog steeds want ze zijn nog te jong, na de tweede maand 2, na drie maanden 3 want de jongen van vorige maand doen nog niet mee, vervolgens 5, dan 8, en vervolgens 13, 21 etc. Na 12 maanden zijn er 144 paartjes konijnen. De serie getallen 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 -13 - 21 - 34 - 55 etc. wordt de Fibonacci reeks genoemd. Het is geen erg realistische berekening en de konijnen trekken zich er ook niets van aan, maar de Fibonacci reeks is wel zeer beroemd geworden. Het blijkt namelijk dat bijvoorbeeld planten er zich wel wat van aantrekken.

Fibonacci reeks

De opbouw van de Fibonacci reeks is eigenlijk heel simpel: ieder getal is de som van de twee voorgaande getallen: je begint bij 1, 1 plus 0 is ook 1, 1+1 is 2, 2+1 is 3, 3+2 is 5, 5+3 is 8 en zo voort. Maar wat is er nou zo bijzonder aan deze rij getallen? Eigenlijk weet niemand dat, maar sinds de publicatie van de reeks in 1202, hebben allerlei mensen ontdekt dat op de vreemdste plaatsen de Fibonacci reeks opduikt. Op internet zijn er honderden sites die over dit onderwerp gaan, er is een Fibonacci genootschap, een tijdschrift etc.

In dit artikel zal ik me beperken tot planten en dergelijke maar er is dus veel meer: van het maken van geheimschriften tot het voorspellen van aandelenkoersen. Daarom eerst één voorbeeld dat niets met de natuur te maken heeft. Als je in de Fibonacci reeks ieder getal deelt door het voorgaande getal krijg je de volgende reeks: 1 - 2 - 1,5 - 1,66 - 1,60 - 1,625 - 1,615 - 1,619 - 1,618 - 1,618 etc. De uitkomsten van deze delingen schuiven dus, naar mate de getallen groter worden, naar 1,618. En dát getal kende men in 1202 al! Zeker in de tijd van Fibonacci was dit een zeer bijzonder getal, men noemde het de Gulden Snede. De verhouding van de afmetingen van gebouwen, beelden, voorstellingen op schilderijen en dergelijke moesten voldoen aan de Gulden Snede want dit is de perfecte verhouding, dan pas vinden wij dingen echt mooi! Dit geldt overigens nog steeds maar dat gold ook voor de oude Grieken. Het Parthenon, de beroemde tempel in Athene, bijvoorbeeld is gebouwd volgens de Gulden Snede en dat was meer dan 1500 jaar vóór Fibonacci! Toeval? Ik denk het niet.

Fibonacci in de tuin

Op internet wordt wel gezegd dat het aantal bloemblaadjes van bloemen bij voorkeur getallen zijn uit de Fibonacci reeks, dus 1, 2, 3, 5, 8, 13. Bij de voorbeelden die worden gegeven klopt dat natuurlijk. Maar zo simpel ligt het niet want er zijn een heleboel planten met vier bloemblaadjes, kelkblaadjes, kroonbaadjes of meeldraden of met zes (met de flora op cd-rom kun je dat gemakkelijk controleren). Maar Fibonacci is er wel, alleen niet zó opvallend. Een voorbeeld: planten hebben hun bladeren meestal niet willekeurig langs de stengel staan. Bij brandnetels is dat heel duidelijk te zien als je er bovenop kijkt: twee bladeren staan steeds op dezelfde hoogte langs de stengel en recht tegenover elkaar. De twee bladeren daaronder en daarboven staan ook recht tegenover elkaar maar een kwart slag gedraaid ten opzichte van de eerste. Er zijn ook planten waarbij het op het eerste gezicht willekeurig lijkt. Op de tekening staat een muizedoorn (Rucus aculeatus). Dit struikje groeit niet in Nederland maar wel in Frankrijk en is om meer redenen interessant. Het struikje wordt ongeveer een halve meter hoog en heeft glanzend groene, zeer harde blaadjes die een behoorlijk scherpe punt hebben. Ongeveer midden op de hoofdnerf van die blaadjes aan de onderkant, komt een piepklein wit bloempje dat na bevruchting kan uitgroeien tot een helder rode bes. Een uiterst merkwaardige plaats voor een bloempje natuurlijk. De blaadjes zijn dan ook officieel geen blaadjes maar uitgroeisels van de stengel net als doorns en stekels. Tekening van muizedoorn en de Fibonacci patronen

Terug naar Fibonacci. De schijnblaadjes van de muizedoorn lijken willekeurig langs de stengel te staan, maar wel ongeveer op gelijke afstand. Als je echter goed kijkt blijkt dat de serie blaadjes als een spiraal rond de stengel staan en nog leuker dat het 9e blaadje recht onder het 1e staat. Na 8 blaadjes is de spiraal één keer rond en 8 is een getal uit de Fibonacci serie! Toevallig? Zou natuurlijk kunnen, want de muizedoorn is een bijzonder plantje, daarom heb ik er ook een tekening van gemaakt, maar de blaadjes van de zonnebloem staan bijvoorbeeld óók in een spiraal die met 8 blaadjes rond de stengel draait. Als je gaat kijken blijkt dat er heel vaak systeem zit in de plaatsing van blaadjes rond de stengel en bijna altijd zijn het dan Fibonacci getallen zoals 5, 8 en 13. Zelfs de brandnetel: na twee stel bladeren is de spiraal één keer rond en 2 is ook een Fibonacci getal, al vind ik dit zelf niet zo’n sterk voorbeeld.

Muizedoorn met bes op de foto

Fibonacci in het bos

Ik kan me voorstellen dat de muizedoorn en de zonnebloem nog niet iedereen overtuigd hebben. Daarom het beroemdste voorbeeld: de dennenappel. De dennenappel bestaat uit een groot aantal harde schubben die min of meer dakpansgewijs over elkaar zitten. Binnenin zit een klein zaadje met een ovaal vlies dat als vleugel moet dienen om het zaadje weg te laten vliegen als de schubben open gaan staan. Voor deze kleine zaadjes pelt de eekhoorn complete dennenappels. Als je de dennenappels aan de onderkant bekijkt, zie je dat de schubben ongeveer in cirkels liggen. Ongeveer, want het zijn eigenlijk spiralen die vanaf het steeltje naar buiten wegdraaien. En in die spiralen zit inderdaad Fibonacci verstopt. Zoek een flinke dennenappel, zet ergens op de rand een merkteken om te weten waar je begonnen bent en tel bijvoorbeeld rechtsom de spiralen. Tien tegen een dat er 5, 8 of 13 uitkomt, de Fibonacci getallen! Nog verrassender: tel nu de spiralen linksom. Altijd komt er een Fibonacci getal uit dat in de serie een stap hoger of lager ligt. Dus als er rechtsom 8 spiralen zijn dan er linksom 5 of 13 spiralen!! Op de twee foto’s van dezelfde dennenappel is dat aangegeven.

Een heel ander voorbeeld is het madeliefje en de margriet. Het gele hartje van deze bloemen bestaat uit een groot aantal kleine gele bloemetjes en deze kleine bloemetjes staan ook in spiralen die je linksom en rechtsom kunt zien. Het is niet altijd even goed te zien omdat de kleine bloemetjes ook gaan bloeien en dat maakt het tellen erg moeilijk. Bovendien is het aantal spiralen veel groter dan bij de dennenappel, vaak 21 of 34. Bij de zonnebloem is het nog ingewikkelder. Bij de zonnebloemen van de bloemist is het ook moeilijk te zien omdat daar de kleine bloemen in het hart bloeien, maar als de zaden, de zonnebloempitten, gevormd zijn is het veel duidelijker: spiralen. De grote zonnebloemen zouden zeer hoge Fibonacci getallen moeten hebben om alle zaden te rangschikken maar dan zou er in het midden te weinig ruimte zijn voor volgroeide zaden. Daarom maakt de zonnebloem naar buiten extra spiralen, maar Fibonacci blijft gelden!

Grapje van moeder natuur

Er zijn nog veel meer voorbeelden. De windingen van slakkenhuisjes verlopen bijvoorbeeld ook volgens Fibonacci reeksen. Bloemkool en nog duidelijker de ‘torentjes’ broccoli, hebben spiralen net als de dennenappel en zelfs de slablaadjes staan in spiralen net als die van de zonnebloem enzovoort. Dus dan denk ik dat ik het begin te begrijpen en tijdens mijn vakantie telde ik geroutineerd de spiralen van een grote dennenappel: 16 en de andere kant op 10! Dat kan niet, dat zijn geen Fibonacci getallen. Grapje van moeder natuur, die vindt het niet leuk om altijd alles hetzelfde te doen, het is geen machine. Maar er zit wel systeem in. De Fibonacci reeks begint bij 1 en telt steeds de twee vorige getallen bij elkaar. Maar je kunt natuurlijk ook bij 2 beginnen dan krijg je de reeks 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, …. En dat zijn de getallen van ‘mijn’ dennenappel! Blijkbaar begint de natuur meestal bij 1 te tellen maar maakt ze soms een uitzondering en begint dan bij 2. Op de tekening staat bovenin de ‘normale’ verdeling en onder de afwijkende. Bij deze grote dennenappel is ook duidelijk te zien dat de spiralen niet alleen onder zitten maar ook aan de zijkanten doorlopen.

Tekening van een dennenappel met boven het 'gewone' Fibonacci patroon en beneden de variant

Jan van Dingenen - 2002

Naschrift

Interessant is natuurlijk hoe en waarom de natuur zoveel Fibonacci reeksen ‘gebruikt’. De wiskundigen zijn hier heel enthousiast mee bezig geweest en zeer veel sites op internet gaan hierover. Ze komen tot de conclusie dat celgroei en celdeling van uit één punt en min of meer in één vlak de belangrijkste oorzaak is. Delen, groeien en elkaar van binnen naar buiten drukken leidt automatisch tot de spiralen en de verhoudingen die passen in de Fibonacci reeksen. Hans Bär geeft op zijn site een beschrijving die gaat van gemakkelijk naar redelijk mathematisch: 'Het Zonnebloemmotief'.

Helaas werkt deze link niet meer. Zodra ik een nieuw adres heb gevonden, zal ik de link aanpassen.